Altair FEKO

Назначение метода

Направление векторов поля в ячейке сетки FDTD

Техническое описание

Электрические и магнитные поля вычисляются на двух офсетных прямолинейных сетках, моделируемых во времени. Этот подход позволяет использовать центральную разность для аппроксимации уравнений Максвелла, обеспечивая второй порядок точности, используя численное дифференцирование первого порядка. Метод Фурье применяется для преобразования результатов моделирования из временной области в частотную.
FDTD использует технологию разбиения вычислительного объема на воксели для точного представления вычислительного пространства. Один воксель соответствует одному кубику (см. рисунок ниже). Воксели рассчитываются по неравномерно прямоугольной сетке: сетка может локально уплотняться непосредственно на геометрии модели или в местах, где как ожидается, электромагнитное поле претерпевает резкие изменения.

Воксельная модель самолета для FDTD

Метод относительно устойчив, для того чтобы обеспечить высокую стабильность, шаг по времени должен быть рассчитан по самой маленькой ячейке сетки. Включение в моделирование геометрически маленьких элементов уменьшит временной шаг, что приведет к неизбежному увеличению общего времени моделирования.
Неравномерная структура сетки или криволинейные поверхности в модели также могут привести к грубой дискретизации воксельной модели, точность которой может быть увеличена за счет локального уточнения или (когда это возможно) ротации геометрии, чтобы сетка приближённо соответствовала конформной.
FDTD достаточно просто поддается различным методам распараллеливания. На сегодняшний момент, FEKO также поддерживает использование графических карт NVidia (GPU) для ускорения процесса моделирования.

Примеры использования FDTD

Возможности метода FDTD могут использоваться для решения широкого круга задач. Метод применяется для решения задач, которые включают неоднородные материалы, например, для биомедицинских исследований, модели которых содержат органические структуры, состоящие из большого количества неоднородных слоев. А также для расчета широкополосных антенн.  

Воксельная модель GSM антенны для FDTD                                                                          

Воксельная модель головы для FDTD

2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (Finite Element Method, FEM)

Применение технологии

Метод конечных элементов применяется при моделировании больших или неоднородных диэлектрических объектов, которые невозможно эффективно моделировать методом моментов. В методе конечных элементов пространство разбиение на тетраэдры, диэлектрические свойства которых изменяются от элемента к элементу.

Области, которые рассчитываются методом конечных элементов, полностью взаимосвязаны с областями, которые рассчитываются методом моментов

Основы гибридного метода конечных элементов и метода моментов

Объединение метода конечных элементов и метода моментов позволяет учесть связь между металлическими проводниками, плоскостями, рассчитываемыми методом моментов, с гетерогенными диэлектрическими телами, моделируемыми методом конечных элементов.
Сначала вычисляется часть задачи, решаемая методом моментов, в результате чего находятся эквивалентные электрические и магнитные токи, формирующие излучающие границы для метода конечных элементов.
Эта гибридная вычислительная технология использует достоинства метода моментов и метода конечных элементов:

• метод моментов эффективен при моделировании открытых излучающих структур, где не требуется трехмерная дискретизация пространства;
• метод конечных элементов эффективен при моделировании неоднородных диэлектрических тел для нахождения распределения поля внутри заданного объема.

Границы области, рассчитываемой методом конечных элементов, могут быть представлены:

• металлическими поверхностями с учетом скин-эффекта;
• тонкими диэлектрическими слоями;
• металлическими поверхностями с конечным поверхностным сопротивлением;
• металлическими поверхностями с тонкими покрытиями.

Потенциальные возможности метода конечных элементов особенно ярко проявляются при решении задач, в которых моделируемый объем закрыт металлическими поверхностями. В случае, когда можно отделить метод конечных элементов от метода моментов, например, когда моделируемый объем ограничен поверхностями и полностью описывается тетраэдрической сеткой, программа FEKO распознает эту задачу как задачу для метода конечных элементов, т.е. как задачу с сильно разреженной матрицей. В этом случае требуется очень мало памяти, а моделирование выполняется очень быстро в сравнении с гибридным методом конечных элементов и методом моментов.

	Волноводный разветвитель на основе двойного T-моста	Полосно-заграждающий волноводный фильтр сантиметрового диапазона Ku	Двунаправленный волноводный фильтр нижних частот
Время расчета на одной частоте (процессор 3 ГГц)	33,4 с	17,2 с	13,7 с
Используемая память	62,3 Мб	99,2 Мб	31,3 Мб
Метод возбуждения	FEM modal port (основная мода)	FEM modal port (основная мода)	FEM modal port (основная мода)
Модель

Параллелизация вычислений для гибридного метода конечных элементов и метода моментов. Гибридизация с методом MLFMM

Параллелизация вычислений гибридным методом конечных элементов и методом моментов имеет следующие особенности:

• все этапы решений гибридного метода параллелизованы, в результате чего достигнута значительно более высокая скорость расчета;
• более крупные и сложные диэлектрические объекты теперь могут быть проанализированы с использованием менее дорогих вычислительных средств. Это достигнуто благодаря переходу от вычислительных платформ с общей памятью к использованию компьютерных кластеров с распределенной памятью.

Дальнейшая оптимизация вычислений достигнута благодаря гибридизации метода конечных элементов, метода моментов и метода MLFMM. Метод MLFMM более эффективно решает задачи, относящиеся к методу моментов и позволяет:

• анализировать сложные диэлектрические антенны на больших платформах, например, бортовые микрополосковые антенны;
• рассчитывать опасные для человека уровни излучения в непосредственной близости от передающих антенн, например, для пассажиров подвижных средств, оборудованных аппаратурой радиосвязи.
  

Типовые применения метода конечных элементов совместно с методом моментов и MLFMM включают в себя моделирование антенн, исследования электромагнитной безопасности для человека, находящегося вблизи радиочастотной аппаратуры, моделирование волноводных фильтров с диэлектрическими элементами и микрополосковых структур на подложках конечных размеров.

Моделирование линейной конформной микрополосковой антенны на корпусе ракеты

Рассчитанное пиковое значение SAR (для куба 10 г) для фантома человека в металлическом бронежилете и с радиостанцией TETRA

3. МЕТОД МОМЕНТОВ (Method of Moments, MoM)

Применение

Метод моментов применяется при решении задач, в которых присутствуют токи в металлических или диэлектрических структурах и излучение в свободное пространство. Эти структуры должны быть электрически малыми и обычно являются металлическими, однако специальные расширения метода допускают наличие диэлектриков в виде покрытий или объемных элементов конечных размеров.

Разбиение источника и поверхности не сегменты и треугольники

Суть метода

Метод моментов выполняет решение уравнений Максвелла в интегральной форме в частотной области. Достоинство метода моментов заключается в том, что он является «методом источника», т.е. дискретизируется только интересующая структура, а не свободное пространство, как при решении уравнений для нахождении я поля в объеме. При этом граничные условия не требуются, а используемая память пропорциональна геометрии задачи и частоте. Для моделирования магнитных и диэлектрических сред в метод моментов были включены:

Планарные функции Грина для многослойной среды

Многослойная диэлектрическая среда, например, подложка для микрополосковой схемы, может моделироваться с применением функций Грина. Специальная форма функций Грина позволяет работать с бесконечными двумерными слоями конечной толщины, что позволяет при расчете учитывать все слои диэлектрика. При этом в процессе решения дискретизируются только проводящие поверхности и проводники внутри диэлектрических слоев, но не сами слои. Проводящие поверхности и проводники могут быть ориентированы произвольным образом и пересекать разные слои. В многослойную диэлектрическую структуру можно поместить диэлектрические включения произвольной формы благодаря возможности их представления объектами, полученными на основе принципа эквивалентных токов. Связанные щелевые структуры можно моделировать, используя магнитные токи.

Специальные функции Грина для плоской многослойной среды

Принцип эквивалентности поверхностей

Принцип эквивалентных поверхностей (SEP) использует понятие эквивалентных электрических и магнитных токов, текущих по поверхности диэлектрического тела конечного размера. Такие тела могут иметь произвольную форму, а их поверхности представляются сеткой с треугольными ячейками. Данный метод также можно применять для поверхностей многослойных сред, разбивая их на конечные элементы. При этом граница объекта покрывается сеткой треугольных конечных элементов в соответствии с принципом SEP, в то время как внутренние слои моделируются на основе метода многослойных диэлектриков, что позволяет избежать сеточного представления границ диэлектриков в многослойных диэлектрических структурах.

Принцип эквивалентных поверхностей (поверхностная сетка)

Принцип эквивалентных объемов

Принцип эквивалентных объемов (VEP) позволяет создавать диэлектрические тела произвольной формы с использованием тетраэдральных объемных элементов. Для их описания обычно требуется больше базисных функций, чем для элементов в методе SEP; соседние тетраэдры могут иметь разные электрические и магнитные свойства.

Принцип эквивалентных объемов (тетраэдраэдральная сетка разбиения)

Метод ветрозащитной антенны

Ветрозащитные антенны обычно состоят из набора диэлектрических слоев с отличающимися диэлектрическими свойствами. Пакет FEKO содержит алгоритмы, основанные на методе моментов, которые применяют сеточное представление только для металлических антенных элементов ветрозащитной антенны, а влияние диэлектрических слоев учитывается при помощи специальных методов. Вместе с методом ветрозащитной антенны может использоваться MLFMM.

Метод ветрозащитной антенны

Тонкие диэлектрические слои

Множество слоев из тонкого диэлектрика и анизотропные слои в пакете FEKO могут быть проанализированы как один слой. Типичное применение этого метода – анализ антенн с обтекателями и автомобильные ветрозащитные антенны.

Проводники с диэлектрическим покрытием

В пакете FEKO есть два метода для моделирования диэлектрического или магнитного покрытия проводников:

• формула Поповича изменяет радиус металлического проводника для изменения емкостной нагрузки, одновременно увеличивая соответствующую индуктивную нагрузку. Ограничением данного метода является требование равенства коэффициента потерь слоя и окружающей среды;
• чистые диэлектрические слои, т.е. слои, относительная диэлектрическая проницаемость которых равна относительной диэлектрической проницаемости окружающей среды, должны моделироваться с учетом теоремы эквивалентности, учитывающей влияние диэлектрического покрытия при помощи объемных токов поляризации. Единственным ограничением метода является требование, чтобы покрытие не было магнитным.

Реальная земляная плоскость

Реальная земля может моделироваться на основе аппроксимации коэффициента отражения или с использованием формулы Зоммерфельда.

Периодические граничные условия

Одномерные или двумерные периодические структуры могут быть промоделированы с использованием периодических граничных условий (Periodic Boundary Condition, PBC). Такие структуры могут состоять из металлических поверхностей и тонких диэлектрических слоев. В данном методе применяется трехмерная периодическая функция Грина, которая может использоваться вместе с бесконечной идеальной электрической или магнитной проводящей поверхностью, но в отсутствие диэлектрических слоев. Типичным применением данного метода является анализ частотно-селективных поверхностей.

Низкочастотный анализ

Программа FEKO позволяет проводить анализ задач в области очень низких частот, выполняя разбиение интересующей области пространства с помощью специальных базисных функций. В тестовых задачах программа FEKO автоматически рассчитывала распределение токов в исследуемом объекте для частот до 0,001 Гц.

Базисные функции низких порядков (RWG)

Базисные функции высших порядков

Базисные функции высших порядков (Higher Order Basis Functions, HOBF) используют полиномиальные функции высших порядков для моделирования токов в любом заданном элементе сетки. Такие базисные функции позволяют пользователю разбивать задачу на треугольные элементы большего размера без ущерба для точности решения. Применение укрупненных элементов сетки уменьшает количество элементов, которые используются в задаче, что соответственно уменьшает число переменных в процессе вычисления и объем требуемой памяти. При использовании такого представления для масштабных задач уменьшается и время вычислений.

Краевые базисные функции высших порядков (порядок 3.5)

Программа FEKO использует иерархические базисные функции для снижения порядка функций, используемых в каждом элементе сетки. Малые геометрические детали могут быть представлены электрически малыми элементами сетки, в то время как крупные детали могут быть представлены укрупненными элементами. При автоматическом выборе порядка функций для укрупненных элементов сетки используются базисные функции высших порядков, а для электрически малых элементов – базисные функции более низких порядков. Использование такой адаптивной схемы программой FEKO автоматически гарантирует высокое качество решений, получаемых методом моментов, при минимизации памяти и временных затрат на получение решений.

Средства ускорения расчетов в методе моментов

В процессе вычислений методом моментов формируется плотно заполненная матрица данных. Типовая реализация вычислений по методу моментов плохо поддается оптимизации по размеру и скорости вычислений при возрастании размера моделируемой среды. В программе FEKO эта проблема решается при помощи метода адаптивной кросс-аппроксимации (Adaptive Cross-Approximation, ACA). Данный метод является чисто математическим и для сложных задач, решаемых методом моментов, дает значительный выигрыш по скорости и требуемой памяти.

Кроме того, ускорение процесса вычислений методом моментов в программе FEKO достигается благодаря:

• параллелизации вычислений в многозадачных процессорах, компьютерах и кластерах с распределенной памятью путем максимального использования оперативной памяти и доступных процессорных ядер;
• использованию графического процессора в процедурах метода моментов для ускорения процесса вычислений.

Типовые применения метода моментов

Типовые применения метода моментов включают в себя расчет проводных антенн, антенн, размещенных на различных структурах и т.д.

Поле в волноводном разветвителе на основе двойного T-моста

4. МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ (Geometrical Optics, GO)

Применение технологии

Метод геометрической оптики (ГО) основан представлении электромагнитного поля в виде лучей и используется для моделирования металлических или диэлектрических объектов, имеющих очень большие электрические размеры (больше 20 длин волн). Метод ГО моделирует объекты в лучевом приближении и использует оптические законы распространения, отражения и преломления. Эта технология известна также под названием «shooting and bouncing rays approach» (SBR) (дословно – «стрельбы с рикошетом»).
Пользователи обычно начинают расчет больших объектов с помощью метода моментов, и если оказывается, что имеющихся вычислительных ресурсов недостаточно, используют метод MLFMM, а уже потом метод ГО.

Описание

Программа FEKO интегрирует метод ГО и токовый метод моментов путем моделирования лучевого распространения из каждого излучающего элемента, полученного в методе моментов. Взаимодействие лучей с металлическими или диэлектрическими структурами моделируется на основе источников Гюйгенса, расположенных в каждой точке попадания лучей (падающих, отраженных или преломленных) на границе тел. Процесс распространения лучей легко задается при помощи углового расположения для сосредоточенных источников или при помощи поперечного расположения для плоских источников и числом точек взаимодействия, учитываемых при расчете.

Распространение лучей через линзу

Моделирование диэлектрической линзы методом геометрической оптики

Программа FEKO представляет область пространства, моделируемую методом ГО, теми же треугольными элементами, что используются в методе моментов и методе физической оптики, что позволяет варьировать методы расчета для различных областей. Однако треугольные элементы, используемые в методе ГО, могут быть значительно больше, чем в методе моментов, и ограничены только их способностью удовлетворительно описать геометрию задачи, что приводит к существенному уменьшению требуемой памяти. Гладкие поверхности независимо от длины волны могут быть представлены малым количеством элементов.
Вычисления методом ГО удобно распараллеливать, так что многоядерные компьютеры и кластеры очень эффективно выполняют моделирование лучей распространения.

Модели объектов, используемые при расчете методом ГО, могут содержать различные сложные диэлектрические материалы:

• диэлектрические покрытия металлических поверхностей;
• тонкие многослойные диэлектрические слои;
• анизотропные материалы.

Моделирование лучевого распространения методом геометрической оптики в анизотропных материалах: традиционная геометрическая оптика (слева), расширенный метод ГО FEKO (справа)

Анализ излучения методом геометрической оптики

Типичной задачей для диэлектриков, использующей гибридный метод ГО и метод моментов, является моделирование диэлектрической линзы. Для излучающей структуры, например для металлической антенны, расположенной под линзой, лучше применять метод моментов, а для большой диэлектрической линзы – метод геометрической оптики.

Типичной задачей для металлов, использующей гибридный метод ГО и метод моментов, является моделирование зеркальных антенн. Сначала можно выполнить отдельно моделирование излучателя для расчета его диаграммы направленности, которая затем в виде источника возбуждения импортируется в модель зеркальной антенны, которая анализируется методом ГО.

Ближнее поле зеркальной антенны, рассчитанное методом ГО

Диаграммы направленности, полученные методом ГО и методом MLFMM

Анализ рассеяния в лучевом приближении геометрической оптики

Для задач, требующих высокой точности расчета, наилучшими методами моделирования являются метод моментов и метод MLFMM. Для очень больших структур требуется использовать асимптотический метод, поскольку точный расчет требует слишком больших вычислительных ресурсов. Для метода физической оптики также может потребоваться большая сетка в случае крупных объектов, при этом время вычислении растет экспоненциально при увеличении числа отражений. Лучевое приближение ГО хорошо применять для решения задач рассеяния на больших структурах, в то время как приближение «shooting and bouncing rays» («стрельбы с рикошетом») очень эффективно при заранее заданном числе отражений.

5. МЕТОДЫ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ (Uniform Theory of Diffraction, UTD)

Применение технологии

Равномерная теория дифракции (Uniform Theory of Diffraction, UTD) сформулирована для описания взаимодействия электромагнитного излучения с очень большими структурами и объектами. Равномерная теория дифракции является, как и физическая оптика, асимптотическим численным методом для области высоких частот. Пользователи обычно начинают моделирование с метода моментов, но если оказываются, что моделируемая задача очень велика для доступных вычислительных ресурсов (память, время), они обращаются к методу MLFMM, затем к методу физической оптики и, наконец, к равномерной теории дифракции.

В расчете точный метод моментов использован для источника и метод равномерной теории дифракции – к большой многоугольной плоскости

Описание гибридного метода равномерной теории дифракции и метода моментов

Для достижения требуемой точности при моделировании программа FEKO объединяет точный метод моментов и метод геометрической теории дифракции путем установления двунаправленной связи между ними в процессе вычислений, т.е. путем модификации матрицы взаимодействия. В качестве примера можно привести расчет изменения входного импеданса диполя, рассчитываемого методом моментов, вблизи большой структуры, учитываемой на основе равномерной теории дифракции. В процессе вычислений методом равномерной теории дифракции частота не влияет на затраты памяти, если точки отражения от поверхностей и дифракция на краях и углах не вызывают необходимости использовать сеточную структуру. Данный метод позволяет учитывать многократные отражения, дифракцию на краях и углах, двойную дифракцию и ползущие (головные) волны. Возможность анализа распространения волн в лучевом приближении заложена в пакете POSTFEKO как в постпроцессоре. В настоящее время численные методы равномерной теории дифракции позволяют применять их только для плоских полигональных областей с минимальным отношением длины кромки к длине волны либо к уединенным цилиндрам. Таким образом, равномерная теория дифракции хорошо подходит для моделирования кораблей на частотах радаров, но не очень подходит для анализа сложных объектов с плавными границами, например, автомобилей.

Типовое применение метода равномерной дифракции

Типовой задачей для метода равномерной дифракции является анализ связи между высокочастотными передатчиками с учетом корабельной инфраструктуры. Лучевое представление поля в равномерной теории дифракции позволяет определить, в каких направлениях существует наибольшая связь, что позволяет разработчикам переместить тот или иной радиопередатчик на место с меньшей интерференцией либо подавить главные направления интерференции при помощи радиопоглощающих покрытий.

Применение равномерной теории дифракции для анализа связи между высокочастотными передатчиками с учетом корабельной инфраструктуры

Анализ диаграммы направленности корабельного радара

6. МЕТОДЫ ФИЗИЧЕСКОЙ ОПТИКИ (Physical Optics, PO)

Назначение технологии

Метод физической оптики предназначены для задач, в которых необходимо моделировать очень крупные металлические или диэлектрические структуры. Физическая оптика является асимптотическим приближением общей теории дифракции для высоких частот и использует не понятие лучей, а токи. Пользователям обычно рекомендуется получить решение своей задачи методом моментов, но если оказывается, что анализируемая структура является слишком большой для имеющихся ресурсов (доступная память, время вычислений), использовать метод MLFMM, а если ресурсов по-прежнему недостаточно - метод физической оптики.

Точный метод моментов применен для расчета источника; метод физической оптики с треугольными элементами использован для расчета области рассеяния

Основы технологии гибридного метода (физической оптики и моментов)

Программа FEKO для достижения требуемой точности при моделировании объединяет точный метод моментов и метод физической оптики путем установления двунаправленной связи между ними в процессе вычислений, т.е. путем модификации матрицы взаимодействия. В качестве примеров типовых задач можно привести расчет влияния близкого расположения большой структуры на входной импеданс рупорной антенны, при этом большая структура рассчитывается методом геометрической оптики, а рупорная антенна – методом моментов. Программа FEKO представляет области, рассчитываемые методом геометрической оптики, при помощи тех же треугольных элементов, что и в методе моментов, позволяя легко варьировать методы расчета для различных областей.

Программа FEKO использует различные расширения геометрической оптики:

• токи Фуко для учета эффекта ползущих волн в теневой граничной области;
• корректирующие коэффициенты для более точного вычисления токов вблизи кромок и клиньев;
• физическая оптика для больших элементов (LE-PO): альтернативный набор базисных функций для физической оптики, основанный на плоских волнах. Приближение LE-PO не учитывает многократные отражения, но позволяет выполнять декомпозицию крупных объектов, имеющих размеры, измеряемыми многими длинами волн. Это позволяет резко сократить вычислительные расходы в сравнении со стандартным методом физической оптики в случаях, в которых применимо приближение LE-PO.

Типовые применения физической оптики

Типичный пример удачного совместного применения метода моментов и метода физической оптики – анализ рефлекторной антенны. Большая рефлекторная антенна может быть слишком крупной для моделирования методом MLFMM, и в этом случае идеальным вариантом будет объединение метода моментов и метода физической оптики. Возбуждающие структуры обычно моделируются методом моментов для достижения высокой точности расчета токов, а сам рефлектор моделируется при помощи физической оптики. В данном случае можно использовать как стандартный, так и альтернативный набор базисных функций для больших элементов (LE-PO). Примечание: волноводные порты, находящиеся в области использования метода моментов, могут быть промоделированы гибридным методом моментов и методом геометрической оптики, позволяя выполнять высокоэффективный расчет волноводного ввода рупорной антенны.

Моделирование рупорной антенны методом геометрической оптики совместно с моделированием возбудителя методом моментов

7. МНОГОУРОВНЕВЫЙ БЫСТРЫЙ МЕТОД МНОГОПОЛЮСНИКОВ (Multi-level Fast Multipole Method, MLFMM)

Назначение технологии

Многоуровневый быстрый метод многополюсников (Multi-level Fast Multipole Method, MLFMM) является альтернативной реализацией метода моментов, и применяется для значительно более больших структур, чем те, для которых возможно применение метода моментов. Метод MLFMM позволяет проводить полный электромагнитный анализ электрически больших объектов на основе моделирования токов. Данный метод можно применять для большинства объектов, для которых раньше использовался метод моментов, без изменения шага сетки.

Основы технологии

Метод моментов и метод MLFMM сходны тем, что базисные функции описывают взаимодействие между треугольными ячейками сетки. Отличие между ними заключается в том, что MLFMM группирует базисные функции и рассчитывает взаимодействие между группами базисных функций, а не между отдельными функциями. Программа FEKO применяет иерархический алгоритм, в котором на верхнем уровне все моделируемое пространство помещается в «короб», который при делении по трем осям представляется не более чем восемью дочерними «коробами». Этот процесс итеративно продолжается до нижнего уровня, когда сторона каждого из «коробов» не станет примерно равна четверти длины волны. На каждом уровне сохраняются только заполненные «короба», в результате чего формируется эффективная древообразная структура. Таким образом, используя аппарат метода моментов, метод MLFMM дополнительно выполняет операции объединения, трансляции и разделения на различных уровнях.

Декомпозиция на 3 уровне методом MLFMM